一类时变疾病控制系统解的唯一性定理。张丹松付军陈任昭(东北师范大学数学系，长春，)摘要研究了一类由积分一偏微分方程组非齐次初边值问题所支配的时变疾病控制系统．用初值函数给出了系统的解的先验佶计，从而证明了系统在索伯列夫空间Hk,k(QT)×，r·‘(QsT)(是≥1)中的正则解的唯一性．此结果可为疾病控制提供严格的理论基础．关键词时变系统；疾病控制；解的唯一性1问题陈述本文讨论如下的一类时变疾病控制系统(：力Ct)：筹+筹+‰(r'卅m·'f)M=』≥(r,s,t概“在QT=n x(0川内(1．1)筹+警+鲁+‰(r．州)+加m f)]户：-0'在QST=琅×(o，T)内(1．2)PI(r，0)=PI．o(r)，在n=(0，r’。．)内，0
0为不依赖于t的常数．证明从方程(1．5)和H61der不等式及条件(H，)，有 p{(o，￡)=[』：2 m(r，￡)[加(r，￡)+f：P2(r^￡)ds]dr]2≤』：2‘m(，．，t)dr．-，r2[户l(r，f)+f：[户2(，-^￡)d。]2dr≤寺co叫Pl(·，￡)悒+IIP2(·，·，￡)||乞：+2』。[Pl·』：P2(r而￡)ds]dr](2．7)其中C。22。晋蹲]』r锄12(，．：t)dr>o，为与￡无关的常数．对(2．7)右端是后一项使用P=2及el=1的Young不等式‘5|，有2 f2[P1．r．P2(r，s，￡)ds]dr=』!p渺+f。[f：P2ds]2dr≤(2·8)}fPt(·，t)峨+ffP2(·，·，t)f怯由(2．7)和(2．8)推得(2．6)．引理2．3在引理2．1的假设下，且系统(圆的解(pl，P2)∈弼则有估计式 lI m(r，t)II乞。≤cLt…P1．o(r)峨+|I p2(r，s，t)惦](2．9)其中Cl>0，为与t无关的常数．证明用2p1乘方程(1．1)的两边，并由条件(H1)中的／11,a>io及对'7的假设，得到等+喾≤2C2P。t硝Ⅲ㈡d。(2．10)其中C2=，m?x17(r，s，t)>0为与t无关的常数．在n上对r积分(2．10)，并对积分～r，……^+后的不等式右端使用P=2，￡。=1的Young不等式，叉依据牛顿一莱布尼兹公式和引理2．1，得到户}(rm，￡)一1,12(o，￡)+暑}JPl(·，￡)|J乞≤c2(j|Pl(·，f)峨+JjP2(·，-，￡)JJ乞)(2．11)注意到p}(r。t)≥o，并把(2．6)代入(2．11)，得到暑JIPl(·，f)JI乞≤A(|J pt(·，￡)峨+JJP2(·，·，￡)慨)(2．12)其中A=Co+C2>0．用e“‘乘(2．12)，得到 e“‘景{{Pl(·，￡)ll乞≤e卅fA(1{Pl(·，￡刈乞十oPz(·，·，￡)ll乞，](2．13)注意到A>0，从(2．13)得到暑(e。A‘liPi(·，￡)ll乞≤e“‘A l|P2(·，·，￡)1愧≤A jIP2(·，·，￡)1l乞(2．14)在(0，t)上对t积分(2．14)．依据牛顿～莱布尼兹公式和引理2．1．得到第l期张丹松等：一类时变疾病控制系统解的唯一性定理119 e一～lIPl(·，f)喝一I|PI(，．'0)II乞≤A|IP2(·，·，t)l乞，(2．i5)把方程(1．3)中的Pl(r'(J)=P1．【}(，‘)f-I=X(2．15)，得到IIPl(·，f)II2n≮Je^1㈥P…(r)惦+AI|P2 lI乞](2．16)在(0，t)上对t积分(2．16)，并注意到 j．。IIP2峨dr≤』。llP2峨，dr，当o≤r≤，时，我们就从(2．16)得到11 pl峨≤，(、l…pI(，(，‘)惦+||p211毛](2．9)其中C。=max[e们’，AeM’]>()，为与，无关的常数．引理2．4假设条件(HI)一(I-13)成立，而且(P。，P2)∈澎为系统(÷功的解，则有估计式|lP2(，．'s，，)峨≤c3t[f『P2．0(r，s)ff乞，+flPI(r，t)ff乞】(2．17)其中C3>0．为与t无关的常数．证明用2p2乘方程(1．2)，得到喾+等+筹+2[硝，_'州)+加而f)]p；=o．由条件(H。)中的卢2，叩≥0，从上式可得攀+攀+攀≤o(2．18)111＼v、…一，在ns上对r和s积分不等式(2．18)，得到』：”』_等drd。+j：…』：喾删，．+f：“J：等捌r≤o由牛顿一莱布尼兹公式和引理2．1，上式变为』：…pi(r。，．N，r)ds～j：…p；(s，s，f)ds+』。”p；(r，r，￡)d，．一一p；(r，0，，)(1『．+暑II p2(。，‘，f)慨≤o．注意到上式左端首项≥0，并把75Q(1．6)中的p2(，-'o，t)=A(，|，t)Pl(r，f)代入上式左端第四项，得到暑IlP2(‘，。，，)慨≤0A2(州)p}(r'￡)dr．在(0，t)上对t积分上式，并由引理2．I和条件(H1)中的A(r，t)≥o及A(r，t)∈ co(萄r)的假设，从上式得到|l p2(·，·，t)1l k—IlP2(·，·，o)Il乞，≤c。|IP【ll&(2．19)其中C。=maxA2(r，t)>0，为与，无关的常数．(’·，)∈OT把方程(1．4)中的户2(，|'s，())=P2．0(，．'N)代入(2．19)，得 ifP2(·，·，，)ff毛。≤lfP2．0(r，s)|f毛，+c。I{户l}I乙(2．20)在(0，t)上对t积分(2．20)式，并进行类似于从(2．t6)到(2．9)的推导，可得到(2．17)，其中C3=max}1，C4}>()，t无关的常数．定理2．1假设条件(H．)一(H3)成立，且(pl，P2)∈形为系统(功的解，则有估计式120彖北师大学报自然科学版1998年3月IlPl峪2≤羔[¨Pifl悒十}lP2．(】慨， o
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