0 引言
众所周知，百日咳(whooping cough或pertussis)是由一种百日咳鲍特菌(简称BP)感染所致的一种可以预防和治愈的严重急性呼吸道传染病。百日咳的传染性较强并且人群普遍易感。因此，百日咳的传播对人类的健康构成了威胁[1]。一个横断面的研究表明，现有的预防免疫控制策略对保护新生儿的作用不突出[2]。在1974年之后，全球就实施给新生婴儿接种百白破疫苗(diphtheria，tetanus and pertussis combined vaccine，DTP)的免疫计划，使得全球的百白破疫苗接种率达到了80%，致使百日咳发病率和死亡率急速下降，百日咳得到了非常有效的控制。但近些年，全球百日咳发病率又明显上升，甚至在有些疫苗接种率较高的英国、美国等国家出现了暴发或者流行的现象[3]，由此可见，百日咳是一种具有复发性的传染病。虽然百日咳可以通过接种疫苗来预防，但是接种过疫苗人群的免疫力也有一定的有效期，超过有效期的人群会回到易感的人群。
新疆地处边疆，疫苗的接种率低于全国的平均水平，这对新疆地区百日咳的患病率会有极大影响，依照疾病监测信息报告管理系统新疆百日咳2004-2012年的疫情资料显示：百日咳发病总数为3760 例，死亡5例，年平均发病率为2.02/10万[4]。而喀什地处南疆地带，根据疾病监测信息报告管理系统新疆百日咳2004-2015年的喀什地区的数据显示:新疆喀什2004年百日咳的发病人数为388人(发病率为11/10万人)，到了2015年发病人数增加到526人(发病率为11.7/10万人)，呈现了缓慢上升的趋势。因此，分析和掌握新疆喀什地区百日咳的流行趋势来预防百日咳成为地方病是非常有必要的。本文考虑百日咳在传播过程中的相关影响因素，建立了百日咳的传播动力学模型，为新疆喀什制定百日咳控制策略时提供行之有效的相关参考依据。
本文根据百日咳的传播规律，将人群分为注射百日咳疫苗的新生儿(M)、易感人群(S)、百日咳感染者(I)和患病后恢复者(R)4类，构建如下百日咳传播的仓室模型(如图1)。
图1 百日咳动力学模型的仓室图
根据百日咳传播的仓室模型，给出下述的百日咳传播数学模型
其中:p表示百日咳接种率;A表示新生儿数；d表示因病死亡率；μ表示自然死亡率；β表示百日咳的传播率；γ表示患百日咳恢复率；ω表示免疫力的减弱速率；υ表示接受百日咳疫苗的新生儿免疫力减弱速率。
1 基本再生数
显然，模型 (1)存在无病平衡点E0(M0,S0,0,0)=
下面通过下代矩阵方法计算模型(1)的基本再生数R0。
2 模型应用
2.1 参数估计
首先，给出模型部分参数的确定值:(1)根据疾病监测信息报告管理系统2004-2012年新疆百日咳疫情资料，百日咳发病数为3760例，死亡5例[4],所以因病死亡率d取值为d=5/3760≈0.0013。(2)由文献[5]可知，新疆人口的预期寿命为71.12岁，所以自然死亡率μ=1/75≈0.0141。(3)如今，百日咳疫苗覆盖率提高到了以上[6],所以新生儿百日咳疫苗接种率。(4)根据文献[7]可知，新生儿在接种百日咳疫苗12年后，随着免疫力减弱仍有患百日咳的风险，所以取υ=1/12≈0.0833。在感染百日咳病恢复后具有的免疫力期限方面，资料中没有具体的说明，暂时估计感染百日咳病恢复后具有的免疫力期限为12年，所以恢复后免疫力减弱速速ω=1/12≈0.0833。
新疆喀什地区2004年百日咳新发病例数为388人，因此，M(t)的初始条件为M(2004)=388。假设其他初始值分别为M(0)=,S(0)=5000,I(0)=388,R(0)=350。
其次，根据模型 (1)和马尔可夫蒙特卡罗算法(MCMC)来估计参数β和γ。我们将累积病例建模为泊松分布的随机变量，因为泊松分布描述了在一段时间内观察到的事件的数量。我们通过采样校准模型参数的后验分布向量θ|y={β,γ}|y,向量y源于Y(w)表示被报道的累积病例。我们用Metropolis-Hastings接受准则，通过马尔可夫链蒙特卡洛进行抽样。后验密度为
前密度fΘ(θ)是两个单变量的联合概率先验。我们认为β和γ是基于U(0,1)的分布，程序可在R3.3.1版本中实现。我们从个迭代中采样，并将前200个样本作为一个老化周期样本去掉。在这个样本的基础上，计算出基本再生数R0的点估计值和的置信区间，并根据现有的参数值计算出三种分布对R0的贡献。结果如表1所示。
表1 百日咳动力学模型各个参数符号与值?
最后，计算出基本再生数R0=11.5192，其中R0的95%置信区间为95%CI:,R0的取值范围具体如图2。
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